Jan Hünermann

10. February 2019 - Differential equations

Dif­fer­en­tial­gle­ichun­gen sind ele­gant. Man sucht eine Funk­tion, die sich durch die Ableitun­gen der sel­bi­gen Funk­tion beschreiben lässt. Beispiel. 

f(x)=2f(x)f(x) = 2f'(x)

DGLen fassen viele Prob­leme math­e­ma­tisch ele­gant zusam­men. Wie ver­hält sich die Bewe­gung eines Teilchens in Rela­tion zu sein­er Geschwindigkeit? Oder, wie sieht ein elek­trisches Poten­tial aus, wenn ich Ladung an gewis­sen Stellen in einem Raum gegeben habe?

Das sind alles ein­fache Gle­ichun­gen, die natür­liche Phänomene in ein­er einzi­gen Gle­ichung beschreiben. Trotz dieser ein­fachen Darstel­lung sind die Prob­leme meist sehr schwierig, oder sog­ar unlös­bar. Ein Beispiel für (heute) ungelöste DGLen sind z.B. die Navier-Stokes Gleichungen. 

Warum nun sind DGLen ele­gant? Nun ja, man hat ein klar definiertes Ziel: die Gle­ichung zu lösen. Eine Lösung kann man mit nahezu Null Aufwand über­prüfen: erfüllt die Lösung die Gle­ichung, ja oder nein? Und doch gibt es keinen ein­heitlichen Weg, keinen Algo­rith­mus ein Ergeb­nis zu erhal­ten. Es ist also eine reine Frage von Intel­li­genz, eine Lösung für ein Prob­lem zu find­en, das in ein­er einzi­gen Gle­ichung beschrieben wird. Hat man eine Lösung, kann jed­er diese Lösung über­prüfen. Ein gutes Problem.

Wie lautet die Lösung u(t,y,z)u(t, y, z) von fol­gen­der DGL?

t2uty2uy+(t2+y2)uz=tu(t,y,z)t^2u_t - y^2 u_y + (t^2 + y^2)u_z = tu(t, y, z)

Wäre u(t,y,z)=te1te1yu(t, y, z) = te^{\frac{1}{t}}e^{\frac{1}{y}} eine Lösung?