Jan Hünermann

10. February 2019 - Differential equations

Dif­fer­en­tial­gle­ichun­gen sind ele­gant. Man sucht eine Funk­tion, die eine Gle­ichung erfüllt, die Ableitun­gen dieser sel­bi­gen Funk­tion enthält. DGLen fassen ein Prob­lem ein­fach zusam­men. Wie ver­hält sich die Bewe­gung eines Teilchens in Rela­tion zu sein­er Geschwindigkeit? Oder, wie sieht ein elek­trisches Poten­tial aus, wenn ich Ladung an gewis­sen Stellen in einem Raum gegeben habe?

Das sind alles ein­fache Gle­ichun­gen, die natür­liche Phänomene in ein­er einzi­gen Gle­ichung beschreiben. Trotz dieser ein­fachen Repräsen­ta­tion sind die Prob­leme meist sehr schwierig wenn nicht sog­ar unlös­bar. Ein Beispiel für (bis heute) ungelöste DGLen sind die Navier-Stokes Gleichungen. 

Warum sind DGLen nun ele­gant? Nun ja, man hat ein klar definiertes Ziel: die Gle­ichung zu lösen. Eine Lösung kann man mit nahezu Null Aufwand über­prüfen: erfüllt die Lösung die Gle­ichung, ja oder nein? Und doch gibt es keinen ein­heitlichen Weg ein Ergeb­nis zu erhal­ten. Es ist also sehr viel Aufwand, eine Lösung für ein Prob­lem zu find­en, das in ein­er Gle­ichung beschrieben wird. Hat man eine Lösung, kann jed­er diese Lösung über­prüfen. Ein gutes Problem.

Hier meine Noti­zen zu DGLen 1. Ord­nung, und wie diese gelöst wer­den. Gebt mir Bescheid, wenn ihr einen Fehler findet :)

Noti­zen zu par­tiellen Differentialgleichungen

- Jan